การเคลื่อนที่แบบวงกลม (Circular Motion)

ฟิสิกส์ 1    อ.มรกต แสนกุล

การเคลื่อนที่แบบวงกลม  (Circular Motion)

วัตถุที่เคลื่อนที่เป็นวงกลม บนระนาบใดๆ อัตราเร็วขณะใดขณะหนึ่งของวัตถุจะคงที่หรือไม่ก็ได้ แต่ความเร็วของวัตถุไม่คงที่แน่นอน เนื่องจากว่ามีการเปลี่ยนทิศาทางของการเคลื่อนที่ ตลอดเวลา ซึ่งเมื่อวัตถุที่มีการเปลี่ยนทิศทางการเคลื่อนที่แสดงว่า วัตถุนี้ต้องมีองค์ประกอบของแรงมากระทำในทิศทางที่ตั้งฉากกับเส้นทางการเคลื่อนที่ด้วย และกรณีที่การเคลื่อนที่มีอัตราเร็วไม่คงที่ แสดงว่าต้องมีองค์ประกอบของแรงในทิศทางที่ขนานกับแนวการเคลื่อนที่ด้วย พิจารณา รูป

การเคลื่อนที่แบบวงกลมจัดเป็นหนึ่งในการเคลื่อนที่แบบ 2 มิติ ในการเคลื่อนที่เป็นวงกลมที่

จะทำการศึกษานั้น ความเร็วของวัตถุที่เคลื่อนที่เป็นวงกลมจะมีค่าคงที่หรือเท่ากันตลอดการเคลื่อนที่ เรียกการเคลื่อนที่วงกลมแบบนี้ว่า การเคลื่อนที่เป็นวงกลมสม่ำเสมอ (Uniform Circular Motion)

การเคลื่อนที่เป็นวงกลม ลักษณะการเคลื่อนที่ของวัตถุจะมีแรงกระทำตั้งฉากกับเวกเตอร์ความเร็วเสมอตลอดการเคลื่อนที่ วัตถุจะเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ในแนววงกลม แต่ยังคงมีความเร่งเกิดขึ้น ซึ่งความเร่งจะขึ้นกับการเปลี่ยนเวกเตอร์ความเร็ว ซึ่งเวกเตอร์ความเร็วจะมีทิศสัมผัสกับเส้นทางการเคลื่อนที่ของวัตถุและมีทิศตั้งฉากกับแนวรัศมีวงกลม เรียกความเร่งชนิดนี้ว่า ความเร่งแนวสัมผัสวงกลม ( a_T) เวกเตอร์ความเร่งในการเคลื่อนที่แบบวงกลมจะมีทิศตั้งฉากกับเส้นทางการเคลื่อนที่ของวัตถุและมีทิศพุ่งเข้าสู่จุดศูนย์กลางวงกลมเสมอ เราเรียกความเร่งนี้ว่า ความเร่งสู่ศูนย์กลาง  (a_c )

คาบ (T) คือ เวลาที่ใช้ในการเคลื่อนที่ครบ 1 รอบ หรือ วินาทีต่อรอบ (s)

ความถี่  (f) คือ จำนวนรอบที่เคลื่อนที่ได้ในหนึ่งหน่วยเวลา หรือ รอบต่อวินาที  (Hz)

                                                      

อัตราเร็วเชิงเส้น (v) คือ ระยะทางตามแนวเส้นรอบวงของวงกลมที่วัตถุเคลื่อนที่ได้

                                       ในหนึ่งหน่วยเวลา ( m/s)

 

อัตราเร็วเชิงมุม () คือ มุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลมที่รัศมีกวาดไปได้ในหนึ่งหน่วยเวลา

                                  (เรเดียน/วินาที )  rad/s

 

ความเร่งเข้าสู่ศูนย์กลาง (Centripetal Acceleration)  a_c คือ ความเร่งเนื่องจากการเคลื่อนที่แบบวงกลม

                                                                                                มีขนาดคงที่ และมีทิศเข้าสู่ศูนย์กลางเสมอ

                                                                                                 เมื่อ R= รัศมีการเคลื่อนที่ในแนววงกลม (m)

แรงเข้าสู่ศูนย์กลาง (Centripetal Force)  F_c  คือ แรงที่กระทำต่อวัตถุในการเคลื่อนที่แบบวงกลม

                                                                             มิทิศเดียวกับทิศของความเร่ง

                                                                             เมื่อ m = มวลวัตถุที่เคลื่อนที่เป็นวงกลม (kg)

หลักการคำนวณเรื่องการเคลื่อนที่แบบวงกลมแบบต่าง ๆ

1.             เขียนระนาบกลมขณะที่วัตถุกำลังหมุน

2.             เขียนแรงที่กระทำต่อวัตถุ แล้วแตกแรงทั้งหมดให้อยู่ในแนวสู่ศูนย์กลางวงกลม และแนวตั้งฉากกับแนวสู่ศูนย์กลาง

3.             ในแนวสู่ศูนย์กลาง หาแรงลัพธ์ที่ทีทิศทางพุ่งเข้าสู่ศูนย์กลาง แรงนี้จะทำหน้าที่เป็นแรงสู่ศูนย์กลาง

ในแนวตั้งฉากกับระนาบวงกลมนี้ ถือว่าสมดุล   ในแนวนี้เท่ากับศูนย์

เมื่อระบบของวงกลมวางอยู่ในแนวระดับ

วัตถุผูกเชือก แกว่งเป็นวงกลมบนโต๊ะระดับผิวเกลี้ยง

หาความเร็วเชิงมุมได้จาก       

หาความเร่งสู่ศูนย์กลางได้จาก   

หาแรงสู่ศูนย์กลางได้จาก   

ดาวเทียม                                                    

V

  น้ำหนักดาวเทียมลงสู่โลก เป็นแรงสู่ศูนย์กลาง

                                                                                                mg = แรงสู่ศูนย์กลาง

                                                                                                 mg =

                                                                หรื

mg

อ

                                                                                               

การเคลื่อนที่เป็นวงกลมในแนวราบ แบบกรวยคว่ำ

เส้นเชือกเบายาว L ปลายข้างหนึ่งติดวัตถุมวล m อีกปลายหนึ่งตรึงแน่นแกว่งให้วัตถุเคลื่อนที่เป็นวงกลมในแนวราบ รัศมี R

ขณะที่มวล m เคลื่อนที่เป็นวงกลมในแนวราบ ได้รับแรงกระทำ 2 แรงคือ แรงตึงเชือก(P) และน้ำหนักของวัตถุ (mg) แตกแรง P เข้าสู่แนวราบและแนวดิ่ง แรง P  ในแนวราบ =  ทิศสู่ศูนย์กลาง

ดังนั้น

แรง P ในแนวดิ่ง =   ทิศขึ้น

วัตถุไม่มีการเคลื่อนที่ขึ้น-ลงในแนวดิ่ง

ดังนั้น

   

ค่าของมุม  ขึ้นอยู่กับอัตราเร็วเชิงเส้น V ไม่ขึ้นอยู่กับมวล เมื่ออัตราเร็วเพิ่มขึ้น ค่าของมุม

ก็จะเพิ่มขึ้นแต่มุม  จะไม่มีโอกาสเท่ากับ 90 องศา

จากรูป                   

จาก                 

จากสมการ

       คาบการแกว่ง                   

การเคลื่อนที่บนทางโค้ง

การเคลื่อนที่บนทางโค้งในแนวราบ

การที่วัตถุหรือรถจะเลี้ยวโค้งต้องมีแรงสู่ศูนย์กลางเสมอ ในขณะที่รถเลี้ยวโค้งแรงสู่ศูนย์กลางที่กระทำต่อรถก็คือ แรงเสียดทานนั่นเอง โดยแรงเสียดทานมีทิศเข้าสู่ศูนย์กลางในขณะที่รถเลี้ยวโค้ง

การหาความเร็วที่พอดีทำให้รถเลี้ยวโค้งได้

รถจะเลี้ยวโค้งได้ด้วยความเร็วมากหรือน้อยขึ้นอยู่กับรัศมี(R) วงกลมของทางโค้ง และมุม () ที่รถเอียงจากแนวดิ่ง ถ้า R และ  มีค่ามาก รถจะเลี้ยวโค้งได้ด้วยความเร็วสูง

 

 = มุมที่รถเอียงจากแนวดิ่ง

R = รัศมีวงกลมของทางโค้ง

 = ส.ป.ส. ของแรงเสียดทานระหว่างล้อกับถนน

การเคลื่อนที่เป็นทางโค้งบนถนนลื่นเอียงทำมุม  กับแนวระดับ

ในกรณีทางโค้งนิยมยกขอบด้านนอกให้สูงกว่าด้านใน เพื่อช่วยทำให้เกิดแรงสู่ศูนย์กลางโดยไม่ต้องอาศัยแรงเสียดทาน

ความเร็วพอดีกับมุมที่ยกขึ้น หาได้ดังนี้

= มุมที่ผิวถนนกระทำต่อพื้นราบ   v  = อัตราเร็วที่พอดีกับมุมที่ยกผิวถนน   R = เป็นรัศมีความโค้ง   g = ความเร่งเนื่องจากความโน้มถ่วง

จะได้                     

 

                               

การเคลื่อนที่เป็นวงกลมในแนวดิ่ง

ข้อแตกต่างของการเคลื่อนที่แบบวงกลมในระนาบดิ่งกับระนาบระดับคือระนาบระดับขนาดของความเร็วคงที่ แต่ระนาบดิ่งจะมีความเร่ง g มามีผลต่อความเร็วทำให้ขนาดของความเร็วเปลี่ยนแปลงไป

 จากรูป  เมื่อขณะใด ๆ จะมีแรงอย่างน้อย 2 แรงกระทำต่อวัตถุ m ตลอดเวลา คือ

1.             แรงเนื่องจากน้ำหนักวัตถุ W = mg

2.             แรงดึงในเส้นเชือก  = T

ตามแนวรัศมี

ตามแนวสัมผัส

ความเร่งตามแนวสัมผัส 

ความเร่งตามแนวรัศมี          

แต่                         

                                                               

หา v ได้                               

                                               

โปรดสังเกต

(1)       ที่จุด A ซึ่งเป็น จุดต่ำสุด (bottom)

มุม

(2)       ที่จุด B ซึ่งเป็น จุดสูงสุด (top)

มุม

                              

               นั่นคือที่สูงสุด แรงดึงในเส้นเชือกจะมีค่าน้อยที่สุด และจะเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ เมื่อวัตถุกำลังเคลื่อนที่ลงมาและแรงดึงจะมีค่ามากที่สุดเมื่อวัตถุอยู่ต่ำสุด

(3)       ที่จุดสูงสุด ถ้าเราสามารถจัดความเร็วของวัตถุให้พอดีที่ทำให้แรงดึงในเส้นเชือกเท่ากับศูนย์ เชือกจะอยู่ในสภาพไร้แรงดึง เราเรียกความเร็วขนาดนี้ เรียกว่า ความเร็ววิกฤต

กฎของนิวตันกับแรงโน้มถ่วง

ตัวอย่างการเคลื่อนที่แบบวงกลมที่น่าสนใจที่สุด เป็นการศึกษาทางด้านดาราศาสตร์ ซึ่งพัฒนา มาเป็นเวลายาวนาน ก่อนการค้นพบกฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน แต่ก็ประสบกับความลำบาก เพราะ การทำนายและคาดการณ์ล่วงหน้าไม่มีความแม่นยำเป็นเวลานับศตวรรษ แต่หลังจากการค้นพบของนิวตัน ปรากฏว่าการคำนวณตำแหน่งและการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ในระบบสุริยจักรวาลมีความถูกต้องแม่นยำ อย่างที่ไม่เคยปรากฏมาก่อน กุญแจความสำเร็จมี 2 ดอก คือ กฎทั้ง 3 ข้อของนิวตัน และ กฎความโน้มถ่วงสากล

แรงดึงดูดระหว่างดวงอาทิตย์และดาวเคราะห์มี ขนาดเท่ากันแต่ทิศตรงข้ามกัน

ดาวเคราะห์หมุนรอบดวงอาทิตย์ อันเนื่องมาจากแรงดึงดูดระหว่างดวงอาทิตย์และดาวเคราะห์ นิวตันสามารถคำนวณหาแรงดึงดูดระหว่างมวล ได้จากสมการ

 

                                                                                                ...................................... (1)

m₁ และ m₂ คือมวลของดวงอาทิตย์และดาวเคราะห์

R คือระยะทางระหว่างจุดศูนย์กลางมวลทั้งสอง

G คือค่านิจโน้มถ่วงสากล เป็นค่าคงที่ = 6.673×10-11 N⋅m2⋅kg-2

กฎแรงคู่กิริยาและปฏิกิริยาบอกให้เราทราบว่า ดาวเคราะห์จะออกแรงดึงดูดดวงอาทิตย์ (F) เท่ากับแรงปฏิกิริยาที่ดวงอาทิตย์ดึงดูดดาวเคราะห์ ( F′ )เขียนเป็นสมการได้ว่า

-F =  F ′

สมการ (1) ใช้ได้กับมวลทุกประเภทในจักรวาล ดังนั้น นิวตันถึงเรียกสมการของเขาว่า กฎแรงโน้มถ่วงสากล ถ้าวางทรงกลม มวล m และ M ให้ระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางมวลเท่ากับ R แรงดึงดูดที่เกิดขึ้นระหว่างมวลจะเขียนได้เป็น                                                …………………….(2)

                                            

แรงนี้เป็นแรงคู่กิริยาและปฏิกิริยา แรงที่มวล M กระทำกับมวล m จะมีขนาดเท่ากับแรงที่มวล m กระทำกับมวล M แต่ทิศตรงกันข้ามกัน

การโคจรของดาวเคราะห์

                เคปเลอร์(Kepler) ได้ตั้งเป็นกฏการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ขึ้นโดยแยกเป็น 3 ข้อ ดังนี้คือ

กฏข้อที่ 1 กฏแห่งทางโคจรรูปวงรี

                เคปเลอร์ได้ศึกษาทางโคจรของดาวอังคารพบว่าดาวอังคารโคจรรูปวงรี โดยมีดวงอาทิตย์เป็นตำแหน่งของจุดโฟกัสจุดหนึ่ง เคปเลอร์จึงสรุปตั้งเป็นกฏว่า

                ถ้าจะหา

กฏข้อที่ 2 กฏแห่งพื้นที่

                เคปเลอร์ได้ศึกษาเกี่ยวกับเส้นทางโคจรของโลกรอบดวงอาทิตย์ แล้วสามารถบอกอัตราเร้วของโลกในเวลาต่าง ๆ ได้โดยอาศัยจากสมมติฐานที่เขาตั้งไว้ ซึ่งเขาสรุปเป็นกฏได้ว่า

                “ ดาวเคราะห์ที่โคจรรอบดวงอาทิตย์ เส้นตรงที่ลากจากดวงอาทิตย์ไปยังดาวเคราะห์นั้นจะกวาดไปเป็นพื้นที่เท่ากันภายในช่วงเวลาเท่ากัน”

กฏข้อที่ 3 กฏแห่งคาบ

                “กำลังสองตามการโคจรของดาวเคราะห์เป็นสัดส่วนโดยตรงกับกำลังสามของรัศมีเฉลี่ยของวงโคจรรอบดวงอาทิตย์”

แบบฝึกหัด

1.ดวงจันทร์หมุนรอบโลกครบรอบใช้เวลา 27.3 วัน สมมติให้วงโคจรเป็นวงกลมมีรัศมีความโค้ง

   3.82x10⁸ เมตร  จงคำนวณหาขนาดของความเร่งของดวงจันทร์เข้าสู่โลก

2.อนุภาคกำลังเคลื่อนที่เป็นส่วนโค้งของวงกลมด้วยรัศมี  3.64   เมตร  ณ จุดเวลา  อนุภาคมี

   ความเร็วเชิงเส้นสัมผัส  17.4  เมตร/วินาที   และมีความเร่งในทิศทาง 22.0°  จากแนวเข้าสู่

   จุดศูนย์กลาง  จงหา 

                (a)  อัตราเร่งในแนวเส้นสัมผัสทางเดิน

                (b)  ขนาดของความเร่ง

3.นักแข่งจักรยาน ปั่นจักรยานด้วยอัตราเร็ว 10.0 m/s ในสนามแข่งวงกลม ที่มีระยะทางรอบสนาม

   150.0 m

a)             มีความเร่งสู่ศูนย์กลางเท่าไร

b)             นักแข่งจักรยาน ปั่นจักรยานด้วยอัตราเร็วเท่าไรในสนามเดิม จึงจะมีความเร่งสู่ศูนย์กลางเท่ากับความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วงโลก

4.ล้อหมุนสายพานขนาดรัศมี 25 cm หมุนด้วยความถี่ 20 Hz สายพานจะเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็ว

   เท่าไร

5.รถคันหนึ่งวิ่งเป็นบนถนนวงกลมรัศมี 45 เมตร ถ้าสัมประสิทธ์ความเสียดทานสถิตระหว่างล้อ

   กับถนน คือ 0.82 จงหาความเร็วที่รถสามารถเลี้ยวโค้งได้โดยไม่แหกโค้ง

6.ถ้าทางโค้งเอียงทำมุม กับแนวระดับ และถนนไม่มีแรงเสียดทาน รถเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว

   v =11.1 m/s จงหามุม ที่เหมาะสม ทำให้รถไม่ลื่นไถล

7. ลูกตุ้มมวล 0.1 กิโลกรัม ผูกกับเชือกยาว 1 เมตร แกว่งไปมาในแนวดิ่ง ขณะที่เชือกกำลังทำมุม  

    = 30 องศากับแนวดิ่ง ลูกตุ้มมีความเร็ว 2 เมตร/วินาที จงหา

ก) ความเร่งในแนวรัศมีและความเร่งในแนวสัมผัสเส้นทางการเคลื่อนที่แบบวงกลม

ข) ขนาดและทิศทางของความเร่งลัพธ์

8.เหรียญ 2 อัน มวล 8.0 g เท่ากัน วางห่างกัน 200 cm จงหาอัตราส่วน F/W ให้ F เป็นแรงดึงดูดของเหรียญ และ w เป็นน้ำหนักของเหรียญแต่ละอัน